Raisonnement par contre-exemple

Pour prouver qu'une proposition utilisant un quantificateur universel est fausse, il est possible d'utiliser un contre-exemple. Cette méthode est très utile, notamment lorsqu'il faut justifier un « Vrai ou faux ».

Méthode

Un contre-exemple est un exemple permettant de montrer qu'une proposition n'est pas vraie.

Remarque

Quand une proposition commence par « pour tout... », un simple exemple ne suffit pas pour démontrer qu'elle est vraie.
En revanche, pour montrer qu’elle est fausse, un seul exemple, appelé contre-exemple, suffit puisqu'il remet en cause le « pour tout... » signifiant « pour tous les éléments ». 

Exemples

1. La proposition « Tous les chats sont gris » est fausse. En effet, il suffit de trouver un seul chat d’une autre couleur pour le prouver.
En revanche, montrer qu’elle est vraie nécessiterait de prouver que tous les chats sans exception sont gris, ce qu’un seul exemple ne peut pas faire.
C’est pourquoi on dit parfois dans la vie courante : « Tu fais d’un exemple une généralité : il ne faut pas. »
2. Soit la proposition : « Tous les nombres impairs sont des multiples de \(3\). » Cette proposition est fausse. En effet, le nombre \(5\) est impair, mais n'est pas un multiple de `3`. Ce contre-exemple prouve que cette proposition est fausse.
3. On considère la proposition : « Pour tous réels \(a\) et \(b\), \((a+b)^2=a^2+b^2\). » Cette proposition est fausse. En effet, si \(a=1\) et \(b=1\) :
D'une part, \((1+1)^2=2^2=4\).
D'autre part, \(1^2+1^2=2\) et \(2\neq 4\).
4. On considère la proposition : « Pour tous réels \(a\) et \(b\) tels que \(a < b\), on a \(a^2 < b^2\). » La proposition est fausse. En effet, si \(a=-2\) et \(b=-1\) : on a bien \(a <b\), mais \(a^2=4\) et \(b^2=1\), et on a \(a^2\geqslant b^2\).